Rectas tangentes a cuatro triángulos
Translation into Spanish of an interesting article by Frank Sottile, mathematics PhD interested in numerical algebraic geometry, applications of algebraic geometry, real algebraic geometry, algebraic combinatorics, Hopf Algebras, Discrete and Computational Geometry, tropical geometry, etc.
22 June, 2022 A free translation by Chema, a Spanish translator specializing in science translations.
An original text written by Frank Sottile, originally published in
https://www.math.tamu.edu/~frank.sottile/research/stories/4triangles/index.html
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Consideremos la siguiente pregunta sobre geometrÃa simple: ¿Cuál es el número máximo de lÃneas tangentes a cuatro triángulos? (Es decir, cuántas lÃneas tocan un lado de cada triángulo). Para simplificar, asumimos que los triángulos están en una posición general adecuada, en la que la relajación algebraica en la que reemplazamos las aristas por lÃneas de soporte tiene solo un número finito de soluciones. (De hecho, 162 soluciones complejas distintas).
Preguntamos por el número máximo posible, porque el mÃnimo es cero: si los cuatro triángulos están lo suficientemente separados, por ejemplo en las cuatro esquinas de una habitación muy grande, entonces no habrá tales transversales comunes.
Actualmente, la mejor respuesta a esta pregunta es que el número máximo está entre 62 y 162, con un lÃmite superior de 156 si los triángulos son disjuntos. Es casi seguro que el lÃmite superior no es el mejor posible, y también dudamos de la optimización del lÃmite inferior. Este lÃmite inferior se debe a una construcción que describimos en esta página (vinculada a la imagen de abajo a la derecha). Esta construcción implica perturbar cuatro segmentos de lÃnea que tienen 2 transversales comunes, y cada uno de los triángulos resultantes tiene un ángulo extremadamente pequeño y bastante delgado. Nuestra mejor construcción que involucra cuatro triángulos gruesos tiene 40 transversales comunes. La descripción de la búsqueda en la computadora que usamos para encontrar este ejemplo está vinculada a la imagen de abajo a la izquierda, asà como a las animaciones.
H. Brönnimann, O. Devillers, S. Lazard y F. Sottile
La siguiente página acompaña a nuestro artÃculo sobre este tema, Sobre el número de rectas tangentes a cuatro triángulos en el espacio tridimensional .
Las imágenes están vinculadas a una discusión adicional.
Basado en el trabajo apoyado por la Fundación Nacional de Ciencias bajo CAREER Grant DMS-0134860.
Escrito el 30 de diciembre de 2004 por Frank Sottile