El GPS

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An original text written by Don Allen, originally published in
https://www.math.tamu.edu/~dallen/physics/gps/gps.htm

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Índice

Conceptos básicos de GPS

Referencias

Ejercicios

El sistema GPS

El Sistema de Posicionamiento Global (GPS) es un sistema mundial de radionavegación formado por una constelación de 24 satélites, cada uno en su propia órbita a 11.000 millas náuticas sobre la Tierra, y cinco estaciones terrestres que se aseguran de que los satélites funcionen correctamente. Cada uno de los satélites GPS tarda 12 horas en orbitar la Tierra.

El GPS utiliza estos satélites como puntos de referencia para calcular posiciones con una precisión de unos pocos metros. De hecho, con las formas avanzadas de GPS, ¡puede hacer mediciones mejores que un centímetro! Cada satélite está equipado con un reloj preciso que le permite transmitir señales junto con un mensaje de tiempo preciso. La unidad de tierra recibe la señal del satélite, que viaja a la velocidad de la luz. Incluso a esta velocidad, la señal tarda una cantidad considerable de tiempo en llegar al receptor. La diferencia entre el momento en que se envía la señal y el momento en que se recibe, multiplicada por la velocidad de la luz, permite al receptor calcular la distancia al satélite. Aquí hay un gráfico para ilustrar la funcionalidad completa.

Los receptores GPS se han miniaturizado a unos pocos circuitos integrados y, por lo tanto, se están volviendo muy económicos. Y eso hace que la tecnología sea accesible para prácticamente todos. En estos días, el GPS se está abriendo camino en automóviles, barcos, aviones, equipos de construcción, equipos para filmar películas, maquinaria agrícola e incluso computadoras portátiles. Pronto el GPS será casi tan básico como el teléfono.

¿Como funciona?

Así es como funciona el GPS en cinco pasos:

1. La base del GPS es la “triangulación” de los satélites.
2. Para “triangular”, un receptor GPS mide la distancia utilizando el tiempo de viaje de las señales de radio.
3. Para medir el tiempo de viaje, el GPS necesita una sincronización muy precisa.
4. Junto con la distancia, necesita saber exactamente dónde están los satélites en el espacio.
5. Finalmente, debe corregir cualquier retraso que experimente la señal a medida que viaja a través de la atmósfera. También debe corregir las diferencias de reloj entre el receptor GPS y los satélites.

El paso de triangulación es algo como esto. Tienes a mano tu fiel receptor GPS. Lo que el GPS puede hacer es medir con precisión su distancia desde cualquiera de varios satélites. 

Desde el Satélite 1 (S1)  , su dispositivo (unidad GPS) mide su distancia desde el satélite a 11,000 millas de distancia, luego solo puede ubicarse en un círculo en la tierra que es el lugar geométrico de todos los puntos a 11,000 millas de S1.  Ahora desde Desde el Satélite 2 (S2)  su La unidad de GPS mide su distancia desde el satélite a 12,000 millas de distancia. Ahora está ubicado en la intersección de las esferas centradas en los satélites y de los radios respectivos. La intersección de las esferas es un círculo. A continuación, obtenga la distancia de un tercer satélite (S3) nos permite ubicarnos en la intersección de las tres esferas y esta intersección son dos puntos (Un círculo intersecado por una esfera son dos puntos, en general.) Uno de los puntos es donde estás *. El otro punto rara vez se encuentra en la superficie del planeta, por lo que, con un poco de cálculo, puede eliminar esta posibilidad y seleccionar su ubicación. A grandes rasgos, así es como se hace. Pero hay pequeños detalles y se encuentran en el cálculo de esas distancias.

Otra vista de la misma situación muestra las esferas centradas en los satélites. En la imagen de abajo, el planeta tierra es el pequeño círculo hacia el centro de la intersección de las esferas.

Esta es la manera fácil de ver que las observaciones de cuatro satélites pueden dar la posición exacta.

*En cada evento, su posición está en el lugar geométrico de los puntos de resultado.

Ahora, la mayoría de las unidades de GPS buscan y determinan las medidas de hasta seis satélites. Esto solo puede mejorar la precisión utilizando métodos de mínimos cuadrados. Aquí hay un enlace para obtener más información sobre mínimos cuadrados.

¿Cómo se calcula exactamente la distancia?

Ahora sabemos que si tenemos las ubicaciones de los satélites y las distancias de nosotros, podemos determinar con precisión nuestra posición. Pero necesitamos saber cómo se calcula la distancia. De hecho, hay un par de maneras. Aquí hay algunos métodos para calcular la distancia.

• Medición directa con una “regla”.
• Distancias inferidas midiendo ángulos en triángulos.
• Medición de distancias utilizando la velocidad de la luz (tiempo de propagación de la luz).
  

Como se mencionó anteriormente, los métodos GPS están relacionados con la medición del tiempo de propagación de la luz, pero no directamente. ¿Cómo medir la distancia por la luz? Hay un par de métodos. Primero, la distancia se puede medir directamente enviando un pulso y midiendo cuánto se tarda en viajar entre dos puntos. Este método más común es reflejar la señal y el tiempo entre el momento en que se transmitió el pulso y el regreso de la señal reflejada. Dichos sistemas, llamados bidireccionales, se utilizan en radares y láseres satelitales que requieren una precisión de un solo milímetro. Requieren un reloj capaz de cronometrar una precisión de segundos 3x 10^-12 (3 picosegundos). La necesidad de estabilidad del reloj es . Un reloj con esta estabilidad a largo plazo ganaría o perdería 0,03 segundos en un año. Dicho equipo es caro, y los satélites cuestan alrededor de 1 millón de dólares. Más sobre esto más adelante.

Un reloj con esta estabilidad a largo plazo ganaría o perdería 0,03 segundos en un año. Dicho equipo es caro, y los satélites cuestan alrededor de 1 millón de dólares. Más sobre esto más adelante.

Volver al GPS

Si conocemos el tiempo de tránsito de una señal y la velocidad de propagación de la señal, entonces podemos determinar la distancia o el alcance. Dado que el reloj del receptor GPS no está perfectamente sincronizado con el reloj del satélite, los rangos son erróneos. Por eso se les llama pseudorangos . Debemos determinar el desfase horario entre los relojes para medir con precisión las distancias.

Suponiendo que tenemos las distancias de cuatro satélites y sabemos que  son (X_i,Y_i,Z_i) son i=1,2,3,4 las posiciones exactas de los satélites, debemos resolver las siguientes ecuaciones del sistema donde .

donde c es la velocidad de la luz y t_B es el tiempo de compensación del reloj del receptor. La compensación del reloj del receptor es la diferencia entre la hora del GPS y la hora del receptor interno. Obviamente, una parte clave de todo esto es que solo hay un tiempo de compensación de reloj. Esto significa que todos los satélites deben tener relojes perfectamente sincronizados, y esta es solo una de las tareas de los sitios de control. Las incógnitas anteriores son  X, Y, Z y t_B . Reiteramos: si los relojes del receptor GPS y del satélite estuvieran perfectamente sincronizados, el desfase horario sería cero.

El receptor GPS no es solo un fino mecanismo electrónico, también puede hacer muchas matemáticas. ¡Guau y lo pusieron en un paquete tan pequeño!

Todavía más matemáticas

¿Cómo se resuelve ese sistema? Es multivariante y no lineal. Existen numerosos métodos que han sido diseñados para tales sistemas. Lo más notable es el famoso método de Newton. Hemos proporcionado un enlace a los conceptos básicos del método de Newton para funciones de una variable. En pocas palabras… Para resolver la ecuación f(x)=0  , haga una conjetura inicial x₀, calcule . Luego reemplace x₀ en la expresión  con  y calcule  y continúe de esta manera. Es decir, calculamos

y continuar haciéndolo hasta que el valor de  sea lo suficientemente cercano a cero.

En el caso multivariante general , la misma ecuación funciona, pero tiene un aspecto ligeramente diferente. Dejar

Sea el sistema a resolver., donde  y  son vectores columna  y  Cada función es una función de cada una de las variables. Definir la matriz jacobiana  

Si  es algún vector inicial, entonces las iteraciones de Newton son

donde  es la matriz inversa de 

Los problemas de convergencia para el método de Newton son leyenda. Sin embargo, si tenemos un buen valor inicial, el método de Newton a menudo converge rápidamente. Puedes ver más sobre esto en nuestro tratamiento unidimensional.

Fuentes de error de ubicación de posición

Hay muchas fuentes de error en la medición GPS. Entre ellos se encuentran la atmósfera, la ionosfera, los errores de la órbita de los satélites, el ruido del receptor, las ambigüedades de trayectos múltiples y los errores del reloj de los satélites.

Se requieren otras correcciones y trucos para obtener distancias precisas. A veces, las unidades de GPS usan transmisión de doble frecuencia, en parte porque los errores ionosféricos que son inherentes a todas las observaciones pueden modelarse y reducirse significativamente combinando observaciones satelitales realizadas en dos frecuencias diferentes y observaciones en dos frecuencias que permiten tiempos de resolución de ambigüedades más rápidos.

Hasta hace poco, se creaba intencionalmente otra fuente de error. Sin embargo, a partir de agosto de 2000, se apagó la disponibilidad selectiva de la señal, una degradación intencional de la señal. Por lo tanto, las precisiones de la posición horizontal están en el rango de 5 a 7 metros.

Sistemas ópticos

Con los sistemas ópticos, un reflector plano no funciona debido a la necesidad obvia de que la señal de luz sea exactamente perpendicular al espejo de medición. Entonces, lo que se usa comúnmente es un reflector de cubo de esquina, como se muestra a continuación.

Un método alternativo para medir la distancia es medir la diferencia de fase entre la onda continua entrante y saliente. Tal dispositivo se llama interferómetro .

La matemática detrás de esto es la trigonometría elemental. Supongamos que la señal de salida está dada por

y también la  señal retrasada . La señal entrante es de la misma frecuencia pero desfasada. Así recibimos la señal

Cuando la señal devuelta se multiplica (pulsando) por la señal de salida para obtener

Aplicamos las identidades trigonométricas

para obtener

Los términos  y  oscilan al doble de la frecuencia de la señal original. Promediando sobre el producto durante un período largo en comparación con  obtenemos cero. Los términos restantes son el seno y el coseno de la fase.

¿Tenemos la distancia ahora? No exactamente. Si la distancia es menor que 1 longitud de onda, entonces la respuesta es única. Si la distancia es más de 1 longitud de onda, entonces necesitamos un número de ciclos enteros. Los instrumentos topográficos usan esto y hacen mediciones de diferencia de fase en múltiples frecuencias, luego resuelven el sistema de ecuaciones resultante para determinar la distancia.

Referencias

• Tecnología GPS: http://www.trimble.com/gps/ http://www-gpsg.mit.edu/~tah/12.540/12.540.Lec06.pdf
• Conceptos básicos de GPS http://www-gpsg.mit.edu/~tah/12.540/12.540.Lec06.pd
• Navegación terrestre fGPS: una guía completa para usuarios de campo del sistema satelital NAVSTAR por Michael Ferguson, Randy Kalisek, Leah Tucker, Glassford Publishing; ISBN: 0965220257, 1997
• GPS para todos: cómo el sistema de posicionamiento global puede funcionar para usted por L. Casey Larijani, Amer Interface Corp; ISBN: 0965966755 , 1998;
• El Sistema de Posicionamiento Global y GIS: Una Introducción por Michael Kennedy Bk&CD ROM edición Ann Arbor Pr Inc; ISBN: 1575040174, 1996
• El Manual GPS: Principios y Aplicaciones, Steve Dye, Frank Baylin, Baylin/Gale Productions; ISBN: 0917893298, 1997
• Navegación instantánea GPS: una guía práctica desde lo básico hasta las técnicas avanzadas por Kevin Monahan, Don Douglass, Fine Edge Productions; ISBN: 0938665480, 1998

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Ejercicios

1. Demuestre que el reflector del cubo de la esquina refleja la luz en  radianes cuando la esquina es de  radianes. ¿Cuál es el ángulo de reflexión cuando el ángulo de la esquina es  radianes?
2. Suponga que tiene el ángulo de fase correspondiente a exactamente dos reflejos de frecuencia diferentes. ¿Cómo puede ayudarte esto a obtener mejor la distancia entre el GPS y el satélite?
3. Explique por qué resolver el sistema
   
   Dadas las posiciones y distancias de tres satélites, no se obtiene la posición única y exacta del receptor GPS. Después de todo, hay tres ecuaciones y tres incógnitas. Tenga en cuenta que no hay compensación de tiempo en esta situación.
4. Una forma de resolver el sistema anterior es elevando al cuadrado ambos lados y calculando las diferencias de pares de ecuaciones y resolviendo el sistema resultante. Demuestre que con cuatro distancias de satélite, podemos convertir el sistema en un sistema lineal para las tres incógnitas  y 
   
   ¿Qué es el sistema lineal?